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Énigmes difficiles

Avec le raisonnement, pas seulement la réponse.

16 devinettes sur cette page

Dans une salle des fêtes, on range les chaises en rangées comptant toutes le même nombre de chaises. Avec 8 chaises par rangée, il en reste 5 sur le côté ; avec 9 chaises par rangée, et le même nombre de rangées, il en manque 3 pour compléter la dernière. Combien y a-t-il de chaises et de rangées ?

Réponse

Il y a 8 rangées et 69 chaises. En appelant n le nombre de rangées, le stock de chaises vaut 8n + 5 dans le premier cas et 9n − 3 dans le second ; comme c’est le même stock, 8n + 5 = 9n − 3, donc n = 8. Vérification : 8 × 8 + 5 = 69, et 9 × 8 − 3 = 69.

Écrite pour ce site · Forme : enigme-logique

Sur un marché, trois pots de confiture et deux bocaux de miel coûtent 31 €. Deux pots de confiture et trois bocaux de miel coûtent 29 €. Combien coûte un pot, et combien coûte un bocal ?

Réponse

Le pot coûte 7 € et le bocal 5 €. En additionnant les deux achats, on obtient cinq pots et cinq bocaux pour 60 €, donc un pot et un bocal pour 12 €. En les soustrayant l’un de l’autre, il reste un pot moins un bocal pour 2 €. Somme 12, différence 2 : le pot vaut 7 € et le bocal 5 €, ce qui redonne bien 31 € et 29 €.

Écrite pour ce site · Forme : enigme-logique

Un artisan augmente tous ses tarifs de 25 % en janvier, puis accorde en juin une remise de 20 % sur ces nouveaux tarifs. En juillet, une réparation est facturée 90 €. Combien coûtait-elle en décembre, et le client paie-t-il finalement plus ou moins qu’avant les deux changements ?

Réponse

Elle coûtait déjà 90 € : le client paie exactement le même prix qu’avant. Augmenter de 25 % revient à multiplier par 1,25, retirer 20 % revient à multiplier par 0,8, et 1,25 × 0,8 = 1. Les deux opérations se compensent donc exactement. Le piège consiste à additionner les pourcentages, ce qui donnerait une hausse de 5 %, alors qu’ils se multiplient et qu’ils ne portent pas sur la même base.

Écrite pour ce site · Forme : enigme-logique

Un potier veut poser douze carreaux carrés identiques, bord à bord, pour former un rectangle plein — sans en couper aucun et sans en laisser un seul de côté. Combien de rectangles différents peut-il obtenir, et lequel demande le moins de baguette pour en border le tour ?

Réponse

Trois rectangles, et c’est le 3 × 4 qui demande le moins de baguette. Un rectangle plein de douze carreaux correspond à une écriture de 12 comme produit de deux entiers : 1 × 12, 2 × 6 et 3 × 4 — un rectangle et le même tourné d’un quart de tour ne comptent pas pour deux formes. Les tours mesurent, en côtés de carreau, 26, 16 et 14 : le plus économique est le 3 × 4, celui qui approche le plus du carré.

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La somme de nos deux âges est 44 ans. Dans huit ans, j’aurai exactement le double de ton âge. Quel âge avons-nous aujourd’hui ?

Réponse

J’ai 32 ans et tu en as 12. Si ton âge est t, le mien est 44 − t, et la condition s’écrit 44 − t + 8 = 2 × (t + 8), soit 52 − t = 2t + 16, donc 3t = 36 et t = 12. Vérification : dans huit ans, tu auras 20 ans et moi 40.

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Cinq nombres entiers strictement positifs, tous différents les uns des autres, ont pour moyenne 10. Le plus grand des cinq vaut 30. Quelle est la plus grande valeur possible pour le deuxième plus grand ?

Réponse

14. Une moyenne de 10 sur cinq nombres impose une somme de 50 ; en retirant le plus grand, les quatre autres totalisent 20. Pour que le deuxième plus grand soit le plus élevé possible, il faut que les trois derniers soient les plus petits possibles, donc 1, 2 et 3, qui totalisent 6. Il reste 20 − 6 = 14, valeur admissible puisqu’elle est bien inférieure à 30 : les cinq nombres 1, 2, 3, 14 et 30 conviennent.

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Une machine ne délivre que des jetons de 5 € et de 8 €, en quantité illimitée, et ne rend jamais la monnaie. Quelle est la plus grosse somme entière en euros qu’il est impossible de composer exactement avec ces jetons ?

Réponse

27 €. D’abord, 27 est hors d’atteinte : avec zéro, un, deux ou trois jetons de 8, il resterait 27, 19, 11 ou 3 à faire en jetons de 5, et aucun de ces restes n’est un multiple de 5. Ensuite, cinq sommes consécutives sont atteignables : 28 = 4 × 5 + 8, 29 = 5 + 3 × 8, 30 = 6 × 5, 31 = 3 × 5 + 2 × 8, 32 = 4 × 8. Tout montant supérieur s’obtient en ajoutant des jetons de 5 à l’une de ces cinq sommes, donc plus rien n’est impossible au-delà de 27.

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Dix-sept jetons sont posés sur une table. Deux joueurs jouent à tour de rôle et retirent, à chaque tour, un, deux ou trois jetons, à leur choix. Celui qui prend le dernier jeton gagne. Le joueur qui commence peut-il être certain de gagner, et comment ?

Réponse

Oui : il retire un seul jeton d’entrée de jeu, puis complète chaque coup adverse à quatre. En laissant 16 jetons, c’est-à-dire un multiple de 4, il installe une situation dont l’adversaire ne peut plus sortir : si celui-ci retire k jetons, avec k valant 1, 2 ou 3, il suffit d’en retirer 4 − k pour retomber sur 12, puis 8, puis 4, puis 0. Le dernier jeton revient donc toujours à celui qui applique cette règle.

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Un tableau de bord ne comporte que des voyants qui sont soit allumés, soit éteints. On veut pouvoir afficher 100 états différents. Quel est le nombre minimal de voyants ?

Réponse

Il en faut 7. Chaque voyant ajoute un choix binaire, donc n voyants donnent 2 puissance n combinaisons distinctes. Avec 6 voyants on n’atteint que 64 états, insuffisant ; avec 7 on en obtient 128, ce qui couvre les 100 états demandés.

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Un hôtel numérote ses chambres de 1 à 200, et chaque numéro est composé de plaquettes portant chacune un seul chiffre. Combien de plaquettes portant le chiffre 7 le gérant doit-il commander ?

Réponse

40. On compte position par position. En position des unités, le 7 revient une fois par dizaine, soit 20 fois de 1 à 200 : 7, 17, 27, et ainsi jusqu’à 197. En position des dizaines, il apparaît pour les nombres de 70 à 79 puis de 170 à 179, soit 10 + 10 = 20 fois. En position des centaines, jamais, puisqu’on s’arrête à 200. Total : 20 + 20 = 40 plaquettes.

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Un club compte 40 membres. Vingt-cinq d’entre eux pratiquent les échecs, dix-huit pratiquent les dames, et sept pratiquent les deux jeux. Combien de membres ne pratiquent ni l’un ni l’autre ?

Réponse

Quatre. Additionner 25 et 18 donne 43, ce qui dépasse déjà l’effectif du club : c’est le signe que les sept joueurs des deux jeux ont été comptés deux fois. Le nombre de membres pratiquant au moins un des deux jeux vaut donc 25 + 18 − 7 = 36, et il reste 40 − 36 = 4 membres qui n’en pratiquent aucun.

Écrite pour ce site · Forme : enigme-logique

Quatre coureurs — Alma, Bruno, Chloé et Dorian — franchissent la ligne les uns après les autres, sans aucun ex æquo. Dorian arrive juste avant Chloé. Alma n’est ni première ni dernière. Bruno finit après Alma. Dans quel ordre sont-ils arrivés ?

Réponse

Dorian, Chloé, Alma, Bruno. Le couple Dorian-Chloé occupe deux places consécutives : première et deuxième, deuxième et troisième, ou troisième et quatrième. S’il prend la deuxième et la troisième, Alma n’a plus de place, puisqu’elle doit être deuxième ou troisième. S’il prend la troisième et la quatrième, Alma est deuxième et Bruno premier, ce qui contredit « Bruno finit après Alma ». Reste le premier cas, et il respecte les trois contraintes.

Écrite pour ce site · Forme : enigme-logique

On écrit au tableau les nombres de 1 à 10. À chaque étape, on efface deux des nombres présents et on écrit à la place leur différence, prise positive. Après neuf étapes, il ne reste qu’un seul nombre au tableau. Ce nombre peut-il valoir 0 ?

Réponse

Non, jamais. La somme des nombres écrits vaut au départ 1 + 2 + … + 10 = 55, un nombre impair. Quand on remplace a et b par leur différence, la somme diminue de a + b − |a − b|, c’est-à-dire du double du plus petit des deux : elle varie donc toujours d’une quantité paire, et sa parité ne change pas. La somme reste impaire jusqu’au bout, or à la fin elle se réduit au seul nombre restant. Ce nombre est donc impair, et 0 ne l’est pas.

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Le gardien d’un petit musée de province fait sa ronde du soir. Dans la salle du fond, un tableau manque au mur : il ne reste que le crochet et un rectangle plus clair sur la peinture. Aucune alarme ne s’est déclenchée, aucune porte n’a été ouverte depuis la fermeture, et le lendemain matin la direction ne dépose aucune plainte. Que s’est-il passé ?

Réponse

Le tableau n’a pas été volé : il a été décroché en plein jour, avant la fermeture, par le personnel du musée, pour partir à l’atelier de restauration. Le gardien prenait son service ce soir-là pour la première fois et personne ne l’avait prévenu. L’énoncé donnait la clé : aucune porte n’a été ouverte depuis la fermeture, ce qui interdit toute sortie nocturne et ne laisse qu’un seul moment possible, celui où le musée était encore ouvert. L’hypothèse ajoutée par le lecteur, jamais écrite dans l’énoncé, était qu’un mur vide au soir signifie une disparition pendant la nuit.

Écrite pour ce site · Forme : enigme

Une salle de spectacle compte exactement 200 fauteuils, et les 200 billets de la séance ont tous été vendus. Aucun billet n’a été vendu deux fois, aucun acheteur n’a manqué la séance, et pourtant une spectatrice arrivée en retard trouve deux fauteuils libres côte à côte, qui le resteront jusqu’à la fin. Comment l’expliquer ?

Réponse

Un spectateur a acheté trois billets contigus pour lui seul et s’est installé sur le fauteuil de bout de rangée, celui qui donne sur l’allée : de ce côté-là, personne ne peut s’asseoir contre lui, et les deux billets payés en plus neutralisent le seul voisin qui restait possible, celui de l’autre côté. Les deux fauteuils qu’il a ainsi réservés sans les occuper sont donc voisins l’un de l’autre, et c’est cette paire que la retardataire trouve libre. Les 200 billets ont bien trouvé preneur et les 198 acheteurs sont tous présents : c’est le nombre de personnes assises qui est inférieur au nombre de billets vendus. L’hypothèse ajoutée par le lecteur, et jamais écrite dans l’énoncé, était qu’un billet vendu correspond à une personne.

Écrite pour ce site · Forme : enigme

Un train de nuit s’arrête sept minutes dans une gare où personne ne monte ni ne descend. Le conducteur quitte sa cabine, marche deux cents mètres le long du quai, remonte dans le train par une autre porte, et le convoi repart à l’heure : cet arrêt figurait à l’horaire. À quoi servait-il ?

Réponse

La gare est un terminus en cul-de-sac et le train y rebrousse chemin. Il repart par où il est venu, l’avant devenant l’arrière, et le conducteur doit donc gagner à pied la cabine située à l’autre extrémité de la rame — d’où les deux cents mètres et les sept minutes inscrites à l’horaire. Rien n’était impossible : on avait simplement supposé qu’un train qui repart continue dans le même sens.

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À propos de ces devinettes

Cette page rassemble des énigmes difficiles avec, chaque fois, la réponse et le raisonnement qui y mène. C’est la seule façon honnête de présenter ce genre d’exercice : sur une énigme dure, une solution donnée toute nue ne sert à rien. Ou bien elle tombe du ciel et l’on reste avec l’impression désagréable qu’il manquait une information, ou bien elle paraît évidente une fois lue et l’on ne comprend plus pourquoi on a séché. Le chemin compte davantage que le point d’arrivée, et c’est lui que nous écrivons.

Une énigme n’est pas difficile parce qu’elle demande de savoir quelque chose. Une question de culture générale se répond ou ne se répond pas ; il n’y a rien à chercher. Une énigme est difficile parce qu’elle vous fait poser, sans le dire, une hypothèse qui n’était pas dans l’énoncé — que les deux horloges affichent la même heure, que l’observateur ne bouge pas, que le poids d’un chargement change quand il fond. Toute la résistance de l’énigme tient dans cette hypothèse que vous avez ajoutée vous-même. Le moment où elle craque est précisément le plaisir de l’exercice.

Nous mêlons ici deux familles. L’énigme de situation décrit une scène qui semble impossible, et se dénoue en une phrase : une observation qu’on n’avait pas envisagée, un déplacement, un décalage. L’énigme logique, elle, se démontre : arithmétique, dénombrement, cas à éliminer, contrainte à écrire. La première se résout par un changement de regard, la seconde par une suite d’étapes qu’on peut vérifier ligne à ligne. Les deux méritent le même mot d’énigme, mais on ne les attaque pas de la même manière, et il est utile de repérer dès la lecture à laquelle des deux on a affaire.

La règle que nous nous imposons est celle de l’énoncé complet : tout ce qui est nécessaire pour trouver est écrit dans le texte de l’énigme. Rien n’est caché, rien ne s’ajoute en cours de route, il n’y a pas de détail que seul l’auteur connaîtrait. Une énigme qui exige qu’on devine un élément absent n’est pas difficile, elle est mal faite. C’est aussi pour cela que nos réponses redonnent le chemin : si le raisonnement s’appuie sur un mot de l’énoncé, il faut pouvoir remonter à ce mot et constater qu’il y était bien.

Pour chercher, quelques réflexes servent presque toujours. Relire l’énoncé mot à mot, en s’arrêtant sur chaque terme qui pourrait avoir deux sens. Écrire noir sur blanc la liste de ce qu’on suppose sans que ce soit dit, puis retirer ces suppositions une par une. Mettre des lettres sur ce qui varie et poser les égalités qu’on tient. Tester les cas extrêmes, parce qu’une contrainte se voit mieux aux bornes qu’au milieu. Compter les possibilités quand elles sont peu nombreuses : douze mois, sept jours, trois groupes. Et partir de la fin, en se demandant ce qu’il faudrait pour que la situation décrite soit vraie.

Il faut aussi accepter de s’arrêter. Quand une piste tourne en rond, insister dans la même direction revient à creuser le même trou un peu plus profond. Poser la feuille, revenir plus tard, relire l’énoncé à froid : c’est une méthode de recherche comme une autre, pas un aveu de faiblesse. Nous ne promettons pas que la solution vous attendra au retour — nous ne savons rien de ce qui se passe dans votre tête entre-temps. Nous constatons seulement qu’une relecture à distance porte sur un texte déjà connu, et qu’il est alors plus commode d’y chercher le mot sur lequel on avait glissé. Et si la réponse finit par arriver de la solution écrite, il reste quelque chose à en tirer, à condition de repérer l’endroit exact où le raisonnement bifurquait.

Ces énigmes se posent bien à deux ou à quelques-uns, autour d’une table, en laissant du silence. Quelques précautions valent d’être prises — non pas parce que nous aurions mesuré quoi que ce soit, mais parce qu’elles évitent des soirées frustrantes : ne pas donner la réponse trop tôt, ne pas ajouter d’indices que l’énoncé ne contenait pas, ne pas lancer une énigme à quelqu’un qui a la tête ailleurs, et ne pas répondre « non » à une question du chercheur quand cette question visait juste. Si vous voulez aider, relire l’énoncé à voix haute est un geste plus sûr que souffler la solution : la relecture ne coûte rien et laisse l’autre trouver.

Un mot sur la provenance. Toutes les énigmes de cette page ont été écrites pour ce site. Nous ne recopions ni recueil, ni page d’un autre site, ni cahier de vacances ; quand une idée nous paraissait déjà vue quelque part, nous l’avons écartée plutôt que de la maquiller. Cela a deux conséquences que nous assumons : nous en publions moins que les pages qui compilent, et vous ne retrouverez pas ici les grands classiques que tout le monde connaît déjà. En échange, ce que vous lisez est à nous, l’énoncé a été vérifié pour être soluble, et le raisonnement de la réponse a été écrit avec l’énoncé sous les yeux.

Le mode d’emploi le plus simple : lisez l’énoncé, cachez la réponse, donnez-vous un vrai moment de recherche, puis lisez la solution en entier — y compris la partie qui explique pourquoi les autres pistes ne tiennent pas. Nous ne garantissons rien sur l’énigme suivante ; nous vous suggérons seulement de lire nos solutions comme des raisonnements et non comme des résultats, puisque c’est le raisonnement, et lui seul, qui peut éventuellement resservir ailleurs.

Comment elles ont été écrites

Chaque texte de cette page a été écrit pour ce site et porte sa forme : enigmeUne énigme : une situation qui paraît impossible et qui a une explication. enigme-logiqueUne énigme de logique ou de calcul : la réponse se démontre. Aucun n’a été recopié d’un recueil, d’un autre site ou d’un spectacle. Le détail de cette règle, et ce qu’elle nous interdit de publier, se trouve sous Sources & Méthode.

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